Приложение 2

ФОРМУЛЫ УРОВНЕЙ И ФАЗ ПРОЯВЛЕНИЯ ДУХА

Нижняя a _n и верхняя b _n границы n-го уровня вычисляются по формулам

a _n = n (n + 1) /2 + 1, b _n = (n + 1)(n + 2) / 2 [формула 1]

Значения b_n для n = 1,2,3,.., 91 приведены в таблице 1. Величину a _n легко вычислить по той же таблице,

поскольку a _n = b _n-1 + 1,

напpимеp, a ₁₀ = b ₉ + 1 = 56.

Таблица 1

Уровень U(n), на котором находится число n, может быть вычислен по формуле

U(n) = < Ö 2n > -1,

где угловые скобки обозначают ближайшее к данному целое число.

Например, при n = 1990 получаем Ö 2n = Ö 3980 = 63.08, и значит

U ₍₁₉₉₀₎ = < 63.08 > -1 = 62, что согласуется с таблицей 1, в соответствии с которой 62-й уровень составляют числа с 1954 по 2016 включительно.

Фазы проявления духа определяются рекурсивно: (n+1)-я фаза проявления духа состоит из чисел, заполняющих уровни пирамиды, номера которых принадлежат n-й фазе проявления духа; нулевой фазой проявления духа служит, по определению единица. Пусть c _n и d _n - соответственно нижняя и верхняя границы n-й фазы проявления духа. Тогда, очевидно, c _n+1= d _n +1, c ₁ = 2, d 1 = 3, а для n ³ 1 справедлива (см. [1]) формула

d _n+1 = (d _n + 1)(d _n + 2)/2,

с помощью которой можно последовательно вычислить d _n, см. таблицу 2, в которой значения d _n при n ³ 6 по понятным причинам указаны приблизительно.

Таблица 2

Раньше   Дальше